本站原创一、问题情境
我们知道二次函数y=ax2+bx+c图象关于直线x=-对称,那么一般的多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)的对称性究竟怎样呢?二、探究准备
1. 知识准备①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)图象关于直线x=对称;
②若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=2c,则函数f(x)图象关于点(,c)对称.
2. 实验准备
请打开几何画板,在x轴上任取一点M,同时选取点M和x轴,菜单栏“构造”—“垂线”,作出一条直线l,在直线l上任取六点A,B,C,D,E,F,并度量出它们的纵坐标,利用工具栏中的“文字工具”,将刚才A,B,C,D,E,F的纵坐标的标签分别改为a,b,c,d,e,f,这些参数将作为多项式函数的系数,如图1.
3. 探究指导
我们要探究多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(an≠0)的对称性,可以从特殊到一般的方法来探究. 可以先通过探究二次函数(已知)、三次函数、四次函数、五次函数这些比较特殊的函数的对称性,然后推广到一般的多项式函数. 在探究的过程中我们借助几何画板作图的简便性和图形、数据的动态性的优点,通过观察多项式函数的系数变化与图形变化之间的联系,猜想多项式函数的对称性,通过几何画板的再实验,检验刚才的猜想是否成立,如果成立,进行推理论证;如摘自：学报论文格式www.808so.com
果不成立,再进行实验,提出新的猜想,······见图2.
三、探究过程
问题1:三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称性怎样?实验:利用菜单栏“绘图”—“新建函数图象”,作出的图象. 通过拖动点A,B,C,D来改变参数a,b,c,d的大小.
发现:在图象的不断变化中发现三次函数图象没有对称轴,有没有对称点不好判断. 为了进一步研究三次函数是否存在对称点,我们的探究可以采用从特殊推广到一般的研究思路开展.
(1) 三次函数y=ax3(a≠0)图象的对称性怎样?
操作:将参数b,c,d的值都变为0. 在几何画板中选取点B和点M,菜单栏中“编辑”,“操作类按钮”,“移动”,点击“移动”按钮,则点B移到点M位置,此时参数b的值变为0,同理操作点C,D,使得c和d的值变为0.
实验:通过移动点A的位置,观察函数y=ax3(a≠0)的图象,见图3,猜想其对称性?
猜想:函数的图象关于点(0,0)对称.
检验:在几何画板中再次通过拖动点A多次改变参数a的值,发现猜想正确.
证明:由于函数y=ax3(a≠0)是奇函数,故图象关于原点对称.
(2) 三次函数y=ax3+cx(a≠0)图象的对称性怎样?
实验:把点C从点M处移开,通过移动点A和点C的位置,观察函数y=ax3+cx(a≠0)的图象,猜想其对称性?
猜想:图象也关于点(0,0)对称.
检验:同(1)相同,略.
证明:同(1)相同,略.
(3) 三次函数y=ax3+bx2+cx+d图象的对称性怎样?
实验:再把点D从点M处移开,通过移动点A,C和D的位置,观察函数y=ax3+cx+d(a≠0)的图象,见图4,猜想其对称性?
猜想:函数y=ax3+cx+d(a≠0)的图象关于(0,d)点对称.
证明:函数y=ax3+cx+d(a≠0)的图象是y=ax3+cx(a≠0)的图象向上平移了d个单位,故图象关于(0,d)点对称.
(4) 三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称性怎样?
实验:在前面的基础上,再把点B从点M处移开,通过移动点A,B,C和D的位置,观察函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象,见图5,猜想其对称性?
猜想:图象若有对称点,则图象上任意一点的对称点仍然在原图象上,图5中的两个峰谷点G和H应该关于该对称点对称,则点G,H的中点为对称点.
检验:连接点G和H线段,选取线段GH的中点I,在三次函数上任取一点J,作点J关于点I的对称点J',拖动点J,发现点J'一直在三次函数图象上,猜想成立.
求解:假设三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象关于点(m,n)对称,则有
f(m+x)+f(m-x)=2n恒成立.
即a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d+a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d=2n,
(3ma+b)x3+am3+bm2+cm+d=n恒成立.
?圯m=-,n=f(m)=f(-).
故三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象关于点(-,f(-))对称.
问题2:四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)图象的对称性怎样?
(1) 四次函数y=ax4+cx2+e(a≠0)图象的对称性怎样?操作:将参数b, d的值都变为0. 选取点B和点M,菜单栏中“编辑”,“操作类按钮”,“移动”,点击“移动”按钮,则点B移到点M位置,此时参数b的值变为0,同理操作点D,使得d的值也变为0.
实验:通过移动点A,C,E的位置,观察函数y=ax4+cx2+e(a≠0)的图象,猜想其对称性?
猜想:函数图象关于y轴对称.
证明:四次函数y=ax4+cx2+e(a≠0)为偶函数.
(2) 四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)图象的对称性怎样?
实验:将点B和D从点M处移开,通过移动点A,B,C,D,E的位置,观察函数的图象变化.
发现:从实验操作可以看出,四次函数不一定有对称轴,如图6;但是也有可能有对称轴,如图7,那么在什么条件下,四次函数有对称轴呢?
求解:假设四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)的图象有对称轴x=m,则
f(x+m)=f(m-x)恒成立.
a(x+m)4+b源于：论文要求www.808so.com
(x+m)3+c(x+m)2+d(x+m)+e
=a(m-x)4+b(m-x)3+c(m-x)2+d(m-x)+e
(4ma+b)x3+(4m3a+3m2b+2mc+d)x=0恒成立
4ma+b=0,4m3+3m2+2mc+d=0?圯m=-,d=-(b2-4ac),
即当参数a,b,c,d,e满足d=-(b2-4ac)条件时,四次函数y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0)图象有对称轴x=-.
问题3:探究五次函数y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)图象的对称性.
实验:移动点A,B,C,D,E的位置,观察五次函数的图象变化,探究其对称性.
发现:从图8和图9可以看出,五次函数图象没有对称轴,有可能有对称点,也有可能没有对称点.
求解:假设函数y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)图象的对称点为(m,n),
则f(m+x)+f(m-x)=2n.
a(m+x)5+b(m+x)4+c(m+x)3+d(m+x)2+e(m+x)+f+a(m-x)5+b(m-x)4+c(m-x)3+d(m-x)2+e(m+x)+f=2n.
(5ma+b)x4+(10m3a+6bm2+3cm+d)x2+am5+bm4+cm3+dm2+em+f=n.
?圯m=-,n=f(m)=f(-),d=-(4b2-15ac),
当d=-(4b2-15ac)时,五次函数y=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f(a≠0)的对称点为(-,f(-)).
探究结论:二次函数图象有对称轴,三次函数图象有对称点;而四次函数、五次函数等图象不一定具有对称性,在它们的系数满足某种特定的条件下才有对称点或对称轴,且最高次数是奇数(大于1)的多项式函数图象若对称,则关于点(-,f(-))对称;最高次数是偶数的多项式函数图象若对称,则关于直线x=-对称.