本站原创一、教学过程
限于篇幅,且为了突出教学亮点,本文有选择地展示若干精彩段落.T:这里有一幅美妙绝伦的“嫦娥奔月”图多媒体课件展示,请同学们伸展开思维和想象的双翅,发表自己的感慨.
S:类似的飞天登月的神话故事很多,中国古代人的想象能力太丰富了!随着现代高科技的迅猛发展,飞天登月已不再是幻想,而成为现实.虽然目前还只有美国、俄国的宇航员成功地登上了月球,但我国的宇航员也已实现了太空绕月飞行,相信不需多久,我国的宇航员也将骄傲地登上神秘的月面!
T:许多科学技术和理论的发明、发现和创造最初都源于幻想,通过不懈的追求和勇敢的探索,幻想终会成真!数学学习也是这样,亟需一种敢想、敢干的精神.我们今天将要研究的内容,事先没有预习吧,现在也别看书,大胆进入一个未知世界,完全通过自己的探索研究,有所发现,有所建树,论文下载中心www.808so.com
并解决实际问题.欲登月须先知道月球到地球的距离,但月球离我们那么遥远,这个距离无法实际测量,用数学方法啊!今天的研究成果就可以使我们在基础理论上理解这种测量方法的实质.
在Rt△ABC中,我们知道sinA=,sinB=,那么sinC=?
S:sinC=sin90°=1.(未预习,不看书,学生自然会得此结果)
T:能否将sinC也写成两个量比的形式?
S:sinC=.
T:我们有了三个彼此独立的等式,能否将这三个等式串在一起,成为一个连等式呢?请注意这三个等式中处于关健位置的一个量.(必要的提示)
S:斜边长c最关键,则得(c=) ==.①
T(故意地):这就是我们今天研究的成果——正弦定理.
S:不行!这个结论只适用于直角三角形,对于任意三角形,还没有获得证明.
T:好啊,我太高兴了!看来大家已经掌握了一定的数学科研规律……(对于任意三角形的证明从略.出示图2)这才得到颠扑不破的数学真理——正弦定理.此定理源于直角三角形,经过拓展,推广到任意三角形;而在对锐角三角形和钝角三角形进行证明时,又都转化回归到直角三角形.这就是数学科研最典型的方法和数学思想最具代表性的精粹.
T(出乎学生意料,用纸将①式遮住)请说出正弦定理的内容.
S1(略停顿后,用符号语言和自然语言两种方式说出定理的内容,略).
T:你太了不起了,刚得到的结论,你就记住了!说说你是怎么记住的,有什么诀窍?
S1(在教师的启导下,共同小结得):分母“大”,分子“小”,加上正弦连比到.
T:显示的就是数学的对称和谐、神奇美妙!(课本和其他基础练习的解答略,顺应学生的心理需求)下面回到有关登月的测距问题,如图3,P点代表月球,Q代表地球上一点,请大家来当设计师,给出一种测量PQ之间距离的数学方法.
S2:在地球上找点A,可测得QA=a,∠PQA=α,若∠PAQ=90°,则PQ=.(学生的一种很自然的设想,需要的是因势利导)
T:若由于客观原因,难以保证∠PAQ=90°,只能测得∠PAQ=β,怎么办?这样,问题才更具一般性和实用价值.
S3:由正弦定理,得=,所以PQ=.
若β=90°,即得PQ=,与上面的结果一致.
T:太妙了!数学的威力无穷啊!将来肯定会实现:乘坐飞船太空游,最近一站是月球.美丽嫦娥舒广袖,吴刚捧出桂花酒!(教室里爆发出热烈的笑声)再看下题,如图4,PQ代表一座山峰的高,底部不能到达,即不能直接测得PQ的高度和AQ的距离,请设计师们给出测量PQ高度的数学方法.
S4:在AQ的方向上取B点,可测得AB=a,∠PAQ=α,∠PBQ=β.
设PQ=x,则在Rt△PAQ中,AQ= .①
在Rt△PBQ中,BQ=. ②
①-②,得AQ-BQ=-,
即a=x(-),
解得 x= .③
T:看来大家对直角三角形情有独钟,这一点也不奇怪,大家的初中数学学得太好了!(笑声)但这里竟没有用到正弦定理,多少觉得有点遗憾吧?
S5:可以用正弦定理,在△PAB中,由正弦定理,得=,则PB=,所以PQ=PB·sinβ=
S6:也可以这样解,在△PAB中,由正弦定理,得=,则PA=,所以 PQ=PA·sinα =. ④
T:果然用正弦定理要简单快捷些,真是“工欲善其事,必先利其器”啊!但问题随之而来了,③④两式的形态大不相同啊!能否将它们统一起来呢?
S7:由③,得
x===.
T:这就叫做形异质同、实现沟通,殊途同归、异曲同工,数学理性精神的光辉彰显无遗!
二、简单评析
我们确信,此节课的基本教学内容几乎所有高中数学教师都能想到,在课堂教学实施中也可基本保证“进展顺利、任务完成”. 但若欲向教学精品,乃至教学极品进击,仅仅满足于此是远远不够的,必须有所突破,有所提升,实现飞跃,依靠的就是“四种含量”.1. 科研含量
新课标指出:“应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与. 既要有教师的指导,也有学生的自主探索与合作交流. 教师要创设适当的问题情境,鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径,使他们经历知识形成的过程.”
按此理念,数学教学应成为学生在教师的指导下积极自主进行的“发现规律和解决问题”的一种数学科学研究探索活动.此节课体现的理念与笔者完全一致,即不要求,甚至“不准”学生在课前预习.必须阐明以下五方面的理论依据.其一,当今学生的学习负担之重可说是“灾难性”的,课前的预习,课后的练习,铺天盖地的教辅资料,“小考三、六、九,大考周周有”,学生真的是不堪重负. “不准”预习,在一定程度上来说,对学生来说是一种解脱,那么在极力赞同之余,他们就会在没有任何压力的情境下,以更高涨的热情、更充沛的精力和智慧投入课堂的即时探究之中.
其二,南京师范大学著名教授涂荣豹先生在文绍了著名特级教师孙维刚“不要求学生预习,并获得巨大成功”的做法:“不预习,他面临的就是新问题、新情境,那他就有可能‘从无到有’地去探究.”对此,笔者深有所感.既为数学科研,那么学生面临的就应该是一个崭新的、陌生的未知世界,他们才会以极强的求知欲、悬疑感去发现、去构建、去应用,并在此过程尽情地享受认知的快乐和解决问题的成就.
其三,伟大教育家苏霍姆林斯基有句名言:“掩盖教育意图是取得教育效果的最佳方法.”课前不预习,学生不知道这节课将要研究什么、怎么研究、要解决哪些问题,事先将教育意图掩盖得严严实实,一切问题都是当堂提出、当堂解决,取得的也就是弥足珍贵的即时效果.
其四,学生课前预习和课堂上阅读教材都是一种自学,从根本来说,这两种自学都没有走出“注入式”的窠臼,都不能称为数学科研.笔者和全国许多教师曾实施过一种叫做“导学案”的数学教学法,收到了很好的教学效果. 此节课虽没有给学生印发具体的“导学案”,但究其实质,乃是将这个“导学案”悄悄地融入全节课的教学之中. “导学案”最突出的精髓就是源于课本,又不囿于课本,精心设计的是一个个具有开放性的问题,探究的是结论,重视的是过程,强调的是探索性.
其五,现在的中学生,不管他们将来从事什么职业,在他们的工作和创业中,都要面临大量的新问题、新情境,都没有现成的答案可依,需要不断地去发现问题、分析问题、总结规律、形成理论、建构系统、应用理论,取得事业发展乃至腾飞的先机. 若在中学阶段,就在这方面打下坚实深厚的基础,对未来的发展可产生积极和深远的影响.
用以上五方面理论来考量,此节课堪称引领学生进行数学科研的精品.
简单回顾梳理一下整节课的流程:①复习直角三角形中的简单知识;②提出核心问题,能否写成连等式的形式;③初步得结论;④进一步完善结论;⑤用所得结论独立自主地、由浅入深地解决实际问题;⑥发现矛盾,解决矛盾,深化认识. 特别是给出了图2这个科学研究最一般的途径,具有极其深刻的意义和价值.学生肯定不是第一次,也决不是最后一次接触这类图,要求学生一次性地深刻理解、熟练驾驭这类图当然是很不现实的,须要适当的重复和反复强化,不过重复须巧妙,强化须科学.图2中的“直角三角形”、“任意三角形”,在不同的教学内容中,就应该换成相应的研究对象,这样,就大大地拓展了图2的蕴涵量.
2. 思维含量
思维是高等智慧动物——人类大脑特有的功能,数学是思维的科学,发展提高学生的思维水平和能力是数学教学最根本的职责.人们的活动有机械化、程式化和非机械化、非程式化之分. 在前者的活动中,较少甚至没有大脑思维的参与,像“机器人”一样地进行操作;而在后者的活动中,眼、手和嘴的一切活动都与大脑有着千丝万缕的联系. 大脑指挥人的有关器官进行操作,在操作的过程中又作用于大脑,内外结合、互相刺激,人的大脑的功能就得到不断优化发展了. 发展提高学生的思维水平和能力是一项系统工程,须将这项任务分解贯串到整个数学教学过程之中,每节课都应有所担当.
由sinA=,sinB=,sinC=,得==,是此节课的核心内容,自学或教师直接告知,都不能算是学生自己智慧劳动的成果.教师至多只能略微提醒学生关注关键量c,在多媒体课件或黑板上让c处于某种特殊地位,学生则利用思维的敏捷性、深刻性和创造性,发挥c的纽带作用,获得突破.当在直角三角形中得到结论时,教师贸然宣布“得到正弦定理”了,这种对学生思维的良性刺激,促使学生认识的全面和深化.
图2揭示了数学思维最普遍的规律,即从特殊到一般,再从一般到特殊,体现的是最重要的转化回归的数学思想.
图4所对应的实际问题,不是靠简单的操作就可解决的.利用现有的工具,可测得AB=a,∠PAQ=α,∠PBQ=β,如何架构起一座从a,α,β通往PQ的桥梁,除必要的知识基础外,更需要的是一定的思维含量.果然学生提出几种风格不同的思路,得到两种截然不同的结果,激发起学生进一步探究的热情.待发现不同结果其实质原本相同时,思维绽放出喜人的、绚丽的花朵.
3. 文化含量
新课标在开头就明确指出:“数学是人类文化的重要组成部分,数学素质是公民所必须具备的一种基本素质.”据此理念,我们应该将数学教育的目标定位于:发展思维,提高能力,文理融合,德智兼顾,完善人格.所以文说:“在当前更应该着力于用数学文化来塑造学生的灵魂,在数学教学的全过程中体现对学生的人文关怀. 数学文化则是其所蕴涵的精神、理念、思想、品质、审美观念、人文价值、创造性,以及对思维发展和世界科学技术进步所产生的巨大作用的统称.”说文化含量,决不是指离开数学内容空泛的奢谈,而是与数学教学内容密切配合、有机联系达到水融的一种举措.
本节课,教者从嫦娥奔月的神话故事,谈到随着现代高科技的迅猛发展,飞天登月不再是幻想,而已成为现实,继而拓展性地指出:许多科学技术和理论的发明、发现和创造最初都源于幻想摘自：毕业论文提纲www.808so.com
,通过不懈的追求和勇敢的探索,幻想终会成真!这是科学技术也是数学科学的精髓,激发起学生为人类的进步事业追求真理、发现真理、应用真理的科学精神. 正是正弦定理对称和谐、奇妙优美的表达式使人们很容易形成自然的记忆,并总结出朗朗上口的口诀.在测量许多不达的事物的距离问题时,正弦定理发挥了神奇美妙的作用,充分显示数学的魅力和威力. “乘坐飞船太空游,最近一站是月球.美丽嫦娥舒广袖,吴刚捧出桂花酒”更是将神话与现实联系,科学理性与浪漫色彩联系,引发学生无限的遐想,堪称学生喜闻乐见的情感抒发. 在学生激烈思考、紧张劳动的数学课堂上,这些富有人文色彩的内容犹如冬日的暖阳、和煦的春风,可使学生在心头荡起阵阵涟漪,在脑际掀起层层波澜,诗情画意的美妙图景将记忆终生.
4. 情感含量
心态决定状态,状态决定成败,而心态须受情绪和情感的制约. 在数学教学课堂上,学生的情绪和情感应有如下的发展推进过程:
冰冷→预热→加温→升温→兴奋→亢奋
上述过程,必须有教者情感的参与. 就本节课来看,教师的情感参与体现在如下三个方面:
第一、教师时时处处用自己的人格魅力感染学生.教师的一笑一颦、一举一动都饱含对教育的爱、对数学的爱、对学生的爱,且这种爱是浓郁的、诚挚的、持久的和发自内心的.
第二、有效地激发学生祖国和民族的自豪感.提到飞天登月后,教者深情地说:我国的宇航员也已经实现了太空绕月飞行,不需多久,我国的宇航员也将骄傲地登上神秘的月面!所以教室里爆发出热烈的掌声. 可贵的是,这决不是作秀式的表演,而是与学生心理预期的一种有效接轨.
第三、将成功的机会和喜悦完全交给学生.正弦定理的发现、论证、记忆和应用,基本都是由学生在不预习、不看书、不被动接受教师告知的情境下完成的,且不时地对学生进行热情的褒奖、鼓励和鞭策,倾注了教师对学生成长、进步的关爱.在解决实际问题时,教师称学生为“设计师”,这决不是戏言,寄予了对学生的厚望与期待.
事实上,教师的情感取得了丰厚的回报,学生热情高涨、智力兴奋,进入了一种科研探索、发现问题、提出问题、解决问题的最佳状态,在成功中获得幸福感和成就感.
参与文献:
涂荣豹. 谈提高数学教学的认识[J]. 中学数学教学参考(高中),2006(1-2).
黄安成.人文关怀,数学教学的重要使命[J]. 教育研究与评论(中学教育数学版),2009(2).